Geometriai alapismeretek

A görög tudósok az egyiptomi geométerek - földmérők - tapasztalatainak rendszerezésével olyan tudományt alkottak, amelyet ma geometriának nevezünk.
Az Euklidész munkájában (Elemek c.) ránk hagyományozott rendszer kétezer évig
a világnézet egyik pillérének számított. A rá épülő geometriát nevezzük
euklideszi geometriának.

Bolyai Farkas (1775) és fia, Bolyai János (1802) magyar matematikusok munkássága is nagyban meghatározó volt. Ők voltak a nemeuklideszi geometria megálmodói.

Euklideszi geometria

Tekintsük a pontot, az egyenest és a síkot. Azt reméljük, hogy bárki, aki elolvassa ezeket a szavakat, tudja, hogy mire gondolunk, és ő is ugyanazokra a fogalmakra gondol. Ezeket a fogalmakat alapfogalmaknak tekintjük és nem definiáljuk.

Ugyanilyen alapfogalmak azok a kifejezések is, hogy 'a pont az egyenesen vagy a síkon van', 'az egyenes átmegy a ponton', 'az egyenes a síkban van', vagy 'a sík tartalmazza a pontot vagy az egyenest'.
Erre az 'illeszkedés' kifejezést használjuk:

• Két egyenes metsző, ha van közös pontjuk.
• Két egyenes kitérő, ha nincsenek egy síkban.
• Két egyenes párhuzamos, ha egy síkban vannak, és nincs közös pontjuk.
  Minden egyenes párhuzamos önmagával.
• Két sík metsző, ha pontosan egy közös egyenesük van.
• Két sík párhuzamos, ha nincs közös pontjuk.
• Egy egyenes illeszkedik egy síkra, ha az egyenes minden pontja a síknak is pontja.
• Egy egyenes metsz egy síkot, ha pontosan egy közös pontjuk van.
• Egy egyenes és egy sík párhuzamos, ha nincs közös pontjuk.

Állítások, amiket az előbbi szemlélet alapján elfogadunk:

• Két különböző pontra pontosan egy egyenes illeszkedik.
• Ha három különböző pont nem illeszkedik egy egyenesre, akkor a három különböző pontra egy sík illeszkedik.
• Ha egy egyenes két különböző pontja illeszkedik egy síkra, akkor az egyenes minden pontja illeszkedik a síkra.
• Egy egyenesre és egy, az egyenesre nem illeszkedő pontra pontosan egy sík illeszkedik.
• Adott egy egyenes, és egy pont, amelyik nem az egyenesen fekszik. Erre a pontra pontosan egy olyan egyenes illeszkedik, amely párhuzamos az adott egyenessel.

Néhány alapvető geometriai fogalom (emlékeztető)

• Egy egyenest egy pontja két félegyenesre bontja.
• Egy egyenes két pontja meghatároz egy szakaszt.
• Egy adott pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja. Egy-egy ilyen síkrészt szögtartománynak, vagy röviden szögnek nevezünk.

Távolság:

• Két pont távolsága: az őket összekötő szakasz hossza. Jelölés: AB, d(A,B)
• Pont és egyenes távolsága: a pontból az egyenesre bocsátott merőleges talppontjának és a
  tekintett pontnak a távolsága. Ha a pont az egyenesen fekszik, akkor távolságuk 0.

• Két párhuzamos egyenes távolsága: az egyik egyenes egyik tetszőleges pontjának a másik egyenestől mért távolsága. Két metsző egyenes távolsága 0.
• Pont és sík távolsága: a pontból a síkra bocsátott merőleges talppontjának és a tekintett pontnak a távolsága
• Két párhuzamos sík távolsága: az egyik sík tetszőleges pontjának a másik síkkal vett
  távolsága. Metsző síkok távolsága 0.